橢圓的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率，過P（0，1）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且，求△AOB面積的最大值及取得最大值時(shí)橢圓的方程．
【答案】分析：設(shè)橢圓的方程為，直線l的方程為y=kx+1，由，知，把橢圓方程化為3x2+y2=3b2，聯(lián)立，得（3+k2）x2+2kx+1-3b2=0．由此能求出△AOB面積的最大值為和取得最大值時(shí)橢圓的方程．
解答：解：設(shè)橢圓的方程為，
直線l的方程為y=kx+1（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
∵，∴，則橢圓方程可化為，即3x2+y2=3b2，
聯(lián)立，得（3+k2）x2+2kx+1-3b2=0 （*）
有，
而由已知，有x1=-2x2，代入得，
∵k≠0
∴
=
=
=
≤
=，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)                                                    （8分）
由，得，將，代入（*）式得，
所以△AOB面積的最大值為，取得最大值時(shí)橢圓的方程為．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•重慶）如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過B1做直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•重慶）如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過B1作直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若橢圓的中心為原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，若在l上存在點(diǎn)M，使線段OM的垂直平分線經(jīng)過F，則橢圓離心率的取值范圍為
[
2
2
，1)
[
2
2
，1)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•湖北模擬）橢圓的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=
6
3
，過P（0，1）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且
AP
=2
PB
，求△AOB面積的最大值及取得最大值時(shí)橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓的中心為原點(diǎn)O，離心率e=
12
，過右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)A（2，0）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求△POQ的面積．
（Ⅲ）若以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

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