已知橢圓的方程為,點分別為其左、右頂點,點分別為其左、右焦點,以點為圓心,為半徑作圓;以點為圓心,為半徑作圓;若直線被圓和圓截得的弦長之比為
(1)求橢圓的離心率;
(2)己知,問是否存在點,使得過點有無數(shù)條直線被圓和圓截得的弦長之比為;若存在,請求出所有的點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解:(1)由,得直線的傾斜角為
則點到直線的距離,
故直線被圓截得的弦長為,
直線被圓截得的弦長為,                 (3分)
據(jù)題意有:,即,                      (5分)
化簡得:,
解得:,又橢圓的離心率
故橢圓的離心率為.(7分)
(2)假設(shè)存在,設(shè)點坐標(biāo)為,過點的直線為;
當(dāng)直線的斜率不存在時,直線不能被兩圓同時所截;
故可設(shè)直線的方程為
則點到直線的距離,
由(1)有,得=,
故直線被圓截得的弦長為,                       (9分)
則點到直線的距離,
,故直線被圓截得的弦長為,             (11分)
據(jù)題意有:,即有,整理得,
,兩邊平方整理成關(guān)于的一元二次方程得
,                 (13分)
關(guān)于的方程有無窮多解,
故有:,
故所求點坐標(biāo)為(-1,0)或(-49,0).                          (16分)
(注設(shè)過P點的直線為后求得P點坐標(biāo)同樣得分)

解析

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