Question

已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)．
經(jīng)計(jì)算得f（2）=

3

2

，f（4）＞2，f（8）＞

5

2

，f（16）＞3，f（32）＞

7

2

…，通過觀察，我們可以得到一個(gè)一般性的結(jié)論．
（1）試寫出這個(gè)一般性的結(jié)論；
（2）請(qǐng)證明這個(gè)一般性的結(jié)論；
（3）對(duì)任一給定的正整數(shù)a，試問是否存在正整數(shù)m，使得1+

1

2

+

1

3

+…+

1

m

＞a？若存在，請(qǐng)給出符合條件的正整數(shù)m的一個(gè)值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件通過觀察，可以得到一個(gè)一般性的結(jié)論 f（2ⁿ）≥

n+2

2

，（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)）．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
 （3）由（2）可得，存在m滿足條件，a=1+

1

2

k，只要 

1

m

≥

1

2k

 即可，從而得到m的取值范圍，借口求得m的值

解答：解：（1）根據(jù)f（2）=

3

2

，f（4）＞2，f（8）＞

5

2

，f（16）＞3，f（32）＞

7

2

…，通過觀察，
我們可以得到一個(gè)一般性的結(jié)論 f（2ⁿ）≥

n+2

2

，（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)）．…（4分）
（2）證明：（數(shù)學(xué)歸納法）
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即

1

2

 +

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

≥1+

1

2

k，…（2分）
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

+…+

1

2×2k

≥1+

1

2

k+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

  
≥1+

1

2

k+

2k

2k+2k

=1+

1

2

(k+1)=右邊．
即當(dāng)n=k+1時(shí)，f（2ⁿ）≥1+

1

2n

 也成立．…（3分）
由①②知，f（2ⁿ）≥1+

1

2n

  成立． …（1分）
（3）由（2）可得，存在m滿足條件．…（1分）
令 a=1+

1

2

k，只要 

1

m

≥

1

2k

 即可，即

1

m

≥

1

22a-2

=

4

22a

，即 m≥

22a

4

，
可取 m=2^2a．…（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，由特殊的列子得到一般性的結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于難題．