【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若在點(diǎn)處的切線為,求的值;

(2)求的單調(diào)區(qū)間;

(3)若,求證:在時(shí),.

【答案】(1) 切線方程得:,(2) 當(dāng)時(shí),的單調(diào)減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;(3)見解析.

【解析】試題分析:

(I)通過f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線為x﹣ey+b=0,可得f′(e)= ,解得 ,再將切點(diǎn)(e,﹣1)代入切線方程x﹣ey+b=0,可得b=﹣2e;

(II)由(I)知:f′(x) (x>0),結(jié)合導(dǎo)數(shù)分①a≤0、②a>0兩種情況討論即可;

(III)通過變形,只需證明g(x)=ex﹣lnx﹣2>0即可,利用g′(x)= ,根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)判定定理即得結(jié)論.

(1)∵,∴,

在點(diǎn)的切線的斜率為,∴,∴

∴切點(diǎn)為把切點(diǎn)代入切線方程得:;

(2)由(1)知:①當(dāng)時(shí),上恒成立,

上是單調(diào)減函數(shù),②當(dāng)時(shí),令,解得:,當(dāng)變化時(shí),變化情況如下表:當(dāng)時(shí),單調(diào)減,當(dāng)時(shí),,單單調(diào)增,綜上所述:當(dāng)時(shí),的單調(diào)減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.

(3)當(dāng)時(shí),要證,即證,令,只需證,∵由指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)知:上是增函數(shù)又,,∴內(nèi)存在唯一的零點(diǎn),也即上有唯一零點(diǎn)設(shè)的零點(diǎn)為,則,即,由的單調(diào)性知:當(dāng)時(shí),,為減函數(shù)當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,又,等號(hào)不成立,∴.

點(diǎn)睛: 本題考查求函數(shù)解析式,函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)的存在性定理,(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義;(2)研究單調(diào)性,即研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù);(2):證明恒成立,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

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