Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）²．
（1）求f（x）在區(qū)間[，2]上的最大值和最小值；
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，討論方程+x--alnx=0的解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-4x+1，∵f′（x）＞0?x＞1或x＜，∴f（x）在[，1]上遞減，在（1，2]上遞增，
∴f（x）_min=f（1）=0，又f（）=，f（2）=2，
∴f（x）_max=f（2）=2．
（2）?，令g（x）=，
則g′（x）=，
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=，則g（x）=0在（0，+∞）上無(wú)解；
②當(dāng)a＞0時(shí)，則g（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）上遞增，
∴=-，
又∵當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，∴
（�。┊�(dāng)＞0即0＜a＜e時(shí)，g（x）=0在（0，+∞）上無(wú)解；
（ⅱ）當(dāng)=0即a=e時(shí)，g（x）=0在（0，+∞）上有一解；
（ⅲ）當(dāng)＜0即a＞e時(shí)，g（x）=0在（0，+∞）上有兩解；
綜上：當(dāng)a＞e時(shí)，g（x）=0在（0，+∞）上有兩解；當(dāng)a=e時(shí)，g（x）=0在（0，+∞）上有一解；
當(dāng)0≤a＜e時(shí)，g（x）=0在（0，+∞）上無(wú)解．
分析：（1）求出函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后用導(dǎo)數(shù)求出極值，比較它們的大小，其中最大者為最大值，最小者為最小值；
（2）恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性及其最值，結(jié)合圖象即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值、單調(diào)性問(wèn)題，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，本題中滲透了分類討論思想及函數(shù)與方程思想．