Question

一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人由點(diǎn)A開(kāi)始作勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A作勻速直線滾動(dòng)．如圖所示，已知AB=4

2

dm，AD=17dm，∠BAC=45°．若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器人最快可在何處截住足球？

Answer 1

分析：構(gòu)建三角形ABC，利用余弦定理，建立方程，即可求得機(jī)器人最快可在何處截住足球．

解答：解：設(shè)該機(jī)器人最快可在點(diǎn)C處截住足球，點(diǎn)C在線段AD上，設(shè)BC=xdm．  （2分）
由題意，CD=2xdm．AC=AD-CD=（17-2x）（dm）．               （4分）
在△ABC中，由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA．                               （6分）
即x2=(4

2

)2+(17-2x)2-2×4

2

×(17-2x)cos45°．                 （8分）
解得x1=5(dm)，x2=

37

3

(dm)．                                       （10分）
∴AC=17-2x=7（dm），或AC=-

23

3

(dm)（不合題意，舍去）．        （11分）
答：該機(jī)器人最快可在線段AD上離點(diǎn)A7dm的點(diǎn)C處截住足球．        （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建滿足題意的三角形，屬于中檔題．