Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對任意x∈R，都有f′(x)＜

1

2

，則不等式f(x2)＞

x2+1

2

的解集為

（-1，1）

．

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-

x+1

2

，求出g（1），求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，確定其單調(diào)性，由單調(diào)性列式求解．

解答：解：設(shè)g(x)=f(x)-

x+1

2

，g（1）=f（1）-

1+1

2

=1-1=0
則g′(x)=f′(x)-

1

2

．
∵對任意x∈R，都有f′(x)＜

1

2

，
∴g′（x）＜0，即g（x）為實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)．
不等式f(x2)＞

x2+1

2

即為g（x²）＞0=g（1）．
則x²＜1，解得-1＜x＜1．
∴不等式f(x2)＞

x2+1

2

的解集為（-1，1）．
故答案為（-1，1）．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，解答的關(guān)鍵是正確構(gòu)造出輔助函數(shù)，是中檔題．