Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓過坐標(biāo)原點(diǎn)且圓心在曲線上．

(1)若圓分別與軸、軸交于點(diǎn)、(不同于原點(diǎn))，求證：的面積為定值；

(2)設(shè)直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求圓的方程；

(3)設(shè)直線與(2)中所求圓交于點(diǎn)、， 為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，且，在直線異側(cè)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)證明過程見解析；(2) ；（3）直線過定點(diǎn).

【解析】(1)由題意可設(shè)圓M的方程為，

即．令，得；令，得．

(定值)．

(2)由，知．所以，解得．

當(dāng)時(shí)，圓心M到直線的距離小于半徑，符合題意；

當(dāng)時(shí)，圓心M到直線的距離大于半徑，不符合題意．

所以，所求圓M的方程為．

(3)設(shè)，，，又知，，

所以，．

顯然，設(shè)，則.

從而直線PE方程為：，與圓M的方程聯(lián)立，消去y，可得：，所以，，即；

同理直線PF方程為：，與圓M的方程聯(lián)立，消去y，可得：，所以，，即.

所以 ；

.

消去參數(shù)m整理得． ①

設(shè)直線的方程為，代入，

整理得．

所以，．

代入①式，并整理得，

即，解得或．

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)

第二種情況不合題意(因?yàn)?/span>在直徑的異側(cè))，舍去.

所以，直線過定點(diǎn).