Question

已知函數(shù)，函數(shù)的導函數(shù)，且，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）求的極值；

（2）若，使得不等式成立，試求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，對于，求證：．

 

Answer 1

【答案】

(1)當時，沒有極值；

當時，存在極大值，且當時，.

(2).

(3)見解析.

【解析】

試題分析：(1) 首先確定函數(shù)的定義域為，求導數(shù)．為確定函數(shù)的極值，應討論，的不同情況.

(2) 首先求出，將問題轉化成，使得成立，

引入，將問題可轉化為：

利用導數(shù)求的最大值，得解.

(3)當時，，構造函數(shù)，即，

應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值，得到.

方法比較明確，分類討論、轉化與化歸思想的應用，是解決問題的關鍵.

試題解析：(1) 函數(shù)的定義域為，．

當時，，在上為增函數(shù)，沒有極值； 1分

當時，，

若時，；若時，

存在極大值，且當時，

綜上可知：當時，沒有極值；當時，存在極大值，且當時， 4分

(2) 函數(shù)的導函數(shù)，

，， 5分

，使得不等式成立，

，使得成立，

令，則問題可轉化為：

對于，，由于，

當時，，，，

，從而在上為減函數(shù)，

9分

(3)當時，，令，則，

，且在上為增函數(shù)

設的根為，則，即

當時，，在上為減函數(shù)；當時，，在上為增函數(shù)，

，，

由于在上為增函數(shù)，

14分

考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最（極）值，轉化與化歸思想，應用導數(shù)證明不等式.