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已知雙曲線C的兩個焦點為F1、F2，實半軸長與虛半軸長的乘積為.直線l過F2點，且與直線F1F2的夾角為α，且tanα=,l與線段F1F2垂直平分線的交點為P,線段PF2與雙曲線的交點為Q，且PQ∶QF2=2∶1，求雙曲線方程.

思路解析：已知曲線的形狀，可采用待定系數法，根據曲線的對稱性，可以選擇適當的坐標系.

解：取F1、F2所在直線為x軸，F(xiàn)1F2的中垂線為y軸建立直角坐標系如圖所示，設雙曲線方程為-=1,設F1（-c,0）,F2(c,0).

從題設知直線l方程為y=tanα(x-c)，即y=(x-c).在方程中令x=0，得點P坐標（0,-），因=2，由定比分點坐標公式可得點Q坐標（c,-c）.

∵點Q在雙曲線上，∴-=1     ①.         又c2=a2+b2          ②,

從題設有ab=                              ③,

從式①、②消去c,化簡整理得16()4-41()2-21=0，

解此方程得()2=3或()2=-（舍去）.

∵=(∵a＞0,b＞0),            ④

又從式③、④解得a=1,b=.

故所求雙曲線方程為x2-=1.

從對稱性知，雙曲線y2-=1也適合.

∴正確答案應是x2-=1或y2-=1.

方法歸納

    由已知條件求曲線方程，如果由條件可知曲線的種類及方程的具體形式，那么一般用待定系數法來解決.涉及幾個獨立參變量，那么就需要列出與參數變量個數相同的獨立等式，轉化為解方程組求解，若未知曲線形狀，那么可以采用直接法（或其他方法）求解.


練習冊系列答案
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2
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PQ
=2
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