已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：。
（1）求的通項(xiàng)公式
（2）當(dāng)時(shí)，求證：

（1），猜測(cè)：。用數(shù)學(xué)歸納法證明。
（2）即證：

解析試題分析：（1），猜測(cè)：。下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)，猜想成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即，
由條件，
，
兩式相減得：，則當(dāng)時(shí)，
，
時(shí)，猜想也成立。
故對(duì)一切的成立。
（2），即證：
對(duì)，令（），則
，
顯然，，所以，
所以，在上單調(diào)遞減．
由，得，即．
所以，．       
所以


．  得證。
考點(diǎn)：本題主要考查數(shù)列的概念，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng)：難題，歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題。歸納推理問(wèn)題，往往與數(shù)列知識(shí)相結(jié)合，需要綜合應(yīng)用數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式等求解。本題利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，對(duì)數(shù)學(xué)式子變形能力要求較高。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 (為常數(shù))，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且、、成等差數(shù)列.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：
①；②．
（1）若等比數(shù)列為 ()階“期待數(shù)列”，求公比；
（2）若一個(gè)等差數(shù)列既是 ()階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）記階“期待數(shù)列”的前項(xiàng)和為：
（�。┣笞C：；
（ⅱ）若存在使，試問(wèn)數(shù)列能否為階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列是等差數(shù)列，
（1）判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（2）如果，試寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，若數(shù)列得前n項(xiàng)和為，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值。若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列，a1=1，點(diǎn)在直線上.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求證：<1.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)于任意的正整數(shù)都有，
（1）設(shè),求證：數(shù)列是等比數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù),為正整數(shù).
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)數(shù)列的通項(xiàng)公式為(),求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足:,,設(shè),若(Ⅱ)中的滿足：對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n,恒成立,試求m的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。
（Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。

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