Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較S_n與4的大小關(guān)系．

Answer 1

（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0且

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

解得d=2，q=2．
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．
（2）

an

bn

=

2n-1

2n-1

．
Sn=1+

3

21

+

5

22

++

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，①
∴2Sn=2+3+

5

2

++

2n-3

2n-3

+

2n-1

2n-2

，②
②-①得Sn=2+2+

2

2

+

2

22

++

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

=2+2×(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-2

)-

2n-1

2n-1

=2+2×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

．
S_n-4=2-

2n+3

2n-1

，
由S_n-4＜0得出2ⁿ＜2n+3，解得n=1，2，3，
由S_n-4＞0得出2ⁿ＞2n+3，解得n=4，5，6，…．
所以當(dāng)n≤3時(shí)S_n＜4，當(dāng)n≥4時(shí)S_n＞4．