Question

（2013•哈爾濱一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，過點M（3，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B
（1）求橢圓C的方程；
（2）設 P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O 為坐標原點），當|AB|=

3

時，求實數(shù)t的值．

Answer 1

分析：（1）利用離心率求得a和c關系，進而利用橢圓方程中a，b和c的關系求得a和b的關系，最后利用過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長求得b，則a可求，橢圓的方程可求．
（2）設出A、B、P的坐標和AB的直線方程，與橢圓的方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0求得k的范圍，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

OA

+

OB

=t

OP

求得k和t的關系，把點P坐標代入橢圓的方程，利用|AB|=

3

求得k的值，進而利用k和t的關系求得t的值．

解答：解：（1）由已知e=

c

a

=

3

2

，所以

c2

a2

=

3

4

，
又c²=a²-b²，
所以a²=4b²，c²=3b²，所以橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1．
又由過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為

2b2

a

=1．
所以b=1．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
設AB：y=k（x-3），與橢圓聯(lián)立得

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，
整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，
由△=24²k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0，得k2＜

1

5

．
x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1x2=

36k2-4

1+4k2

．
由

OA

+

OB

=t

OP

，得

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)，
所以 x=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

，
y=

1

t

(y1+y2)=

1

t

[k(x1+x2)-6k]=-

6k

t(1+4k2)

．
由點P在橢圓上得，

(24k2)2

t2(1+4k2)2

+

144k2

t2(1+4k2)2

=4，整理得36k²=t²（1+4k²）．
又由|AB|=

3

，
所以|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

3

．
所以（1+k²）（x₁-x₂）²=3，
（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=3，
(1+k2)[

242k4

(1+4k2)2

-

4(36k2-4)

1+4k2

]=3．
整理得：（8k²-1）（16k²+13）=0．
所以8k²-1=0，k2=

1

8

．
由36k²=t²（1+4k²），得t2=

36k2

1+4k2

=9-

9

1+4k2

．
所以t2=9-

9

1+4× 1 8

=3．
則t=±

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單幾何性質，主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的過程一般是把直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理和判別式來作為解題的關鍵．