Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1， ），離心率為 ，點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l與橢圓相交于不同于點(diǎn)A的兩個(gè)點(diǎn)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng) ⊥ =0時(shí)，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知：且 ，可得： ，

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x=m，與 ，聯(lián)立得 ．

由于 ，得 ，解得 或m=2（舍去）．

此時(shí) ，△OPQ的面積為

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由題知k≠0，設(shè)l：y=kx+m，與 聯(lián)立，

整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．由△＞0，得4k2﹣m2+1＞0；

且 ，

由于 ，得： ．

代入（*）式得：12k2+5m2+16km=0，即 或m=﹣2k（此時(shí)直線l過(guò)點(diǎn)A，舍去）．

，

點(diǎn)O到直線l的距離為：

S△OPQ= ，將 代入得： ，

令 0＜p＜1， ，由y=﹣9p2﹣7p+16，

在（0，1）上遞減，

∴0＜y＜16，故 ，

綜上（S△OPQ）max=

【解析】（Ⅰ）將點(diǎn)代入橢圓方程，根據(jù)橢圓的離心率公式，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）分類討論．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求得P，Q點(diǎn)坐標(biāo)，由 ⊥ =0即可求得m的值，求得丨PQ丨，即可求得△OPQ面積；

當(dāng)直線l的斜率存在，且不為0，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得△OPQ面積的最大值．