Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足csinA=

3

acosC．
（1）求角C的大小；
（2）當(dāng)

3

sinA-cosB取得最大值時(shí)，請(qǐng)判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）已知等式變形后利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后求出tanC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）根據(jù)C的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理用A表示出B，代入原式中利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由A的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出原式取得最大值時(shí)A的度數(shù)，進(jìn)而求出此時(shí)B與C的度數(shù)，即可對(duì)三角形ABC形狀做出判斷．

解答：解：（1）由csinA=

3

acosC，結(jié)合正弦定理得，

a

sinA

=

c

3 cosC

=

c

sinC

，
∴sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）由（1）知B=

2π

3

-A，
∴

3

sinA-cosB=

3

sinA-cos（

2π

3

-A）=

3

sinA-cos

2π

3

cosA-sin

2π

3

sinA=

3

2

sinA+

1

2

cosA=sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
當(dāng)A+

π

6

=

π

2

時(shí)，

3

sinA-cosB取得最大值1，
此時(shí)A=

π

3

，B=

2π

3

-A=

π

3

，C=

π

3

，
則此時(shí)△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．