如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=1．
（1）當(dāng)SA=2時，求直線SA與平面SCD所成角的正弦值；
（2）若平面SCD與平面SAB所成角的余弦值為
49
，求SA的長．
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出SCD 的法向量
n
，利用
SA
與
n
夾角余弦得值去解決．
（2）求出平面SCD與平面SAB 的法向量
n
，
m
，利用面SCD與平面SAB所成角與
n
，
m
的夾角相等或互補(bǔ)的關(guān)系去解決．
解答：解：以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
n

各點坐標(biāo) A（0，0，0）S（0，0，2）D（1，0，0）C（2，2，0）
SD
=（1，0，-2）
SC
=（2，2，-2），
設(shè)面SCD的一個法向量為
n
=(x，y，z)，
則
n
•
SD
=0
n
•
SC
=0
即
x-2z=0
2x+2y-2z=0
取z=1．則
n
=(2，-1，1) 
又
AS
=（0，0，2）
|cos＜
n
，
AS
＞=
|
n
•
AS
|
|
n
|• |
AS
|
=
2
6
×2
=
6
6
．∴直線SA與平面SCD所成角的正弦值等于
6
6
．
（2）設(shè)SA=a，則 S（0，0，a），
SD
=（1，0，-a）
SC
=（2，2，-a），
設(shè)面SCD的一個法向量為
n
=(x，y，z)，則
n
•
SD
=0
n
•
SC
=0
即
x-az=0
2x+2y-az=0
取z=1．則
n
=(a，-
a
2
，1)
又面SAB的一個法向量為
m
=（1，0，0），|cos＜
m
，  
n
＞|=
|
m
， 
n
|
|
m
| •|
n
|
=
a
5a2
4
+ 1
=
4
9
，解得a=
4
61
61
點評：本題考用空間向量解決直線和平面位置關(guān)系、二面角大小，考查轉(zhuǎn)化的思想方法，空間想象能力，計算能力．屬于常規(guī)題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且∠ADC=arcsin
5
5
，又PA⊥平面ABCD，AD=3AB=3PA=3a，
（I）求二面角P-CD-A的正切值；
（II）求點A到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐    P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4．AD=2，AB=2
3
，BC=6．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•宿州一模）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
（1）求證：BC⊥平面PAB；
（2）求面PCD與面PAB所成銳二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一點E，使得DE∥平面PAB？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=BC=1，AD=2，M為PD中點．
（ I ） 求證：MC∥平面PAB；
（Ⅱ）在棱PD上找一點Q，使二面角Q-AC-D的正切值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=
12
．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：面SAB⊥面SBC．

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