已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）經過點（
1
2
，
3
），一個焦點是F（0，-
3
）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C與y軸的兩個交點為A1、A2，點P在直線y=a2上，直線PA1、PA2分別與橢圓C交于M、N兩點．試問：當點P在直線y=a2上運動時，直線MN是否恒經過定點Q？證明你的結論．
（I）一個焦點是F（0，-
3
），故c=
3
，可設橢圓方程為
y2
3+b2
+
x2
b2
=1      …（2分）
∵點（
1
2
，
3
）在橢圓上，∴
3
3+b2
+
1
4b2
=1
∴b2=1，b2=
3
4
（舍去）
∴橢圓方程為
y2
4
+x2=1                      …（4分）
（II）直線MN恒經過定點Q（0，1），證明如下：
當MN斜率不存在時，直線MN即y軸，通過點Q（0，1），…（6分）
當點P不在y軸上時，設P（t，4），A1（0，2）、A2（0，-2），M（x1，y1），N（x2，y2），
直線PA1方程y=
2
t
x+2，PA2方程y=
6
t
x-2，
y=
2
t
x+2代入
y2
4
+x2=1得（1+t2）x2+2tx=0，
得x1=-
2t
1+t2
，y1=
2t2-2
1+t2
，∴kQM=
y1-1
x1
=
3-t2
2t
，…（8分）
y=
6
t
x-2代入
y2
4
+x2=1得（9+t2）x2-6tx=0
得x2=
6t
9+t2
，y2=
18-6t2
9+t2
，∴kQN=
y2-1
x2
=
3-t2
2t
，…（10分）
∴kQM=kQN，∴直線MN恒經過定點Q（0，1）．        …（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，過右頂點A 的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且B（-1，-3）．
（1）求橢圓C和直線l的方程；
（2）若圓D：x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與直線lAB相切，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0）的離心率為
2
2
，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為2
2
．斜率為k（k≠0）的直線l過橢圓的上焦點且與橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點M（0，m）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求m的取值范圍．
（3）試用m表示△MPQ的面積S，并求面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點分別為F1，F(xiàn)2，在x軸上的兩個端點分別為A，B．且四邊形F1AF2B是邊長為1的正方形．
（1）求橢圓C的離心率及其標準方程；
（2）若直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異的兩點MN，且
MP
=3
PN
，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，短軸長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）為橢圓C上的不同兩點，已知向量
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．已知O為坐標原點，試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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