Question

正方體是常見并且重要的多面體，對它的研究將有助于我們對立體幾何一些概念的理解和掌握．如圖所示，在正方體AC₁中，E、F、G、H分別是所在棱的中點(diǎn)，請思考并回答下列問題：

(1)點(diǎn)E、F、G、H共面嗎？

(2)直線EF、GH、DG能交于一點(diǎn)嗎？

(3)若E、F、G、H四點(diǎn)共面，怎樣才能畫出過四點(diǎn)E、F、G、H的平面與正方體的截面？

(4)若正方形的棱長為a，那么(3)中的截面面積是多少？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由平面的基本性質(zhì)可知，要判斷四點(diǎn)共面可以考慮由四點(diǎn)能構(gòu)成相交直線或平行直線． 　　本問題中，可考慮證明EG∥FH． 　　(2)思路一：要證三線共點(diǎn)，可先證兩線共點(diǎn)，然后證明另一線也通過這一點(diǎn)． 　　因?yàn)镋、F分別為棱AB、BC的中點(diǎn)，易得E、F∈面ABCD且EF與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為P． 　　由△EBF≌△PCF可得PC＝BE＝AB． 　　同理，GH與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為P1，同樣可得P1C＝C1G＝C1D1＝AB． 　　所以P1與P重合，因此(2)得證． 　　思路二：要證三線共點(diǎn)，可先證某兩線相交(如圖中的EF、GH相交，設(shè)交點(diǎn)為P)，然后證明P既在平面DCC1D1內(nèi)又在平面ABCD內(nèi)，從而由公理3可得P一定在兩平面的交線CD上，于是可得三線共點(diǎn)． 　　(3)作截面的關(guān)鍵在于作出截面與各個(gè)側(cè)面的交線(或者是作出截面與正方體的各棱的交點(diǎn))，而要確定兩個(gè)平面的交線，要找到同時(shí)在兩個(gè)平面上的至少兩個(gè)點(diǎn)．延長HG、DD1相交于點(diǎn)R，延長FE交DA延長線于Q，則點(diǎn)R、Q是截面與側(cè)面AD1的公共點(diǎn)，連結(jié)RQ與A1D1、A1A分別交于點(diǎn)M、T，連結(jié)GM、TE，可得截面與正方體各面的交線分別為EF、FH、HG、GM、MT、TE．截面如圖陰影部分所示． 　　(4)截面為正六邊形，其面積為．