Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程和函數(shù)f（x）的極值：
（2）若對任意x1 ， x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣ 成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)? ，所以f'（0）=﹣2，

因?yàn)閒（0）=1，

所以曲線f（x）在（0，f（0））處的切線方程為2x+y﹣1=0

由 解得x=2，則f'（x）及f（x）的變化情況如下：

x	（﹣∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

所以函數(shù)f（x）在x=2時(shí)，取得極小值

（2）解：由題設(shè)知：當(dāng)x＞1時(shí)， ，當(dāng)x＜1時(shí)， ，

若a＜1，令x1=2，x2∈[a，1），則x1，x2∈[a，+∞），

由于 ，顯然不符合題設(shè)要求

若a≥1，對x1，x2∈[a，+∞），f（x1）≤0，f（x2）≤0，

由于 ，

顯然，當(dāng)a≥1，對x1，x2∈[a，+∞），不等式 恒成立，

綜上可知，a的最小值為1

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線方程；求得單調(diào)區(qū)間，可得極值；（2）對a討論，若a＜1，若a≥1，討論f（x1）﹣f（x2）的最值或范圍，即可得到所求a的最小值．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．