已知、為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有
.
（1）求橢圓的標(biāo)準方程；
（2）過的直線與橢圓交于、兩點，過與平行的直線與橢圓交于、兩點，求四邊形的面積的最大值.

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準方程為，先利用橢圓定義得到的值并求出的值，然后將點的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的值，最終求出橢圓的方程；（2）根據(jù)平行四邊形的幾何性質(zhì)得到，即先求出的面積的最大值，先設(shè)直線的方程為，且、，將此直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理將的面積表示成只含的表達式，并利用換元法將代數(shù)式進行化簡，最后利用基本不等式并結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性來求出面積的最大值，從而確定平行四邊形面積的最大值.
（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準方程為，
由已知得，，
又點在橢圓上， ，
橢圓的標(biāo)準方程為；
（2）由題意可知，四邊形為平行四邊形 ，
設(shè)直線的方程為，且、，
由得，
，，
，
，
令，則，，
又在上單調(diào)遞增，
，的最大值為，
所以的最大值為.
考點：1.橢圓的定義與方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.韋達定理；4.基本不等式

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓的圓心在坐標(biāo)原點，且恰好與直線相切，設(shè)點A為圓上一動點，軸于點，且動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線
（1）求曲線C的方程，
（2）直線l與直線l，垂直且與曲線C交于B、D兩點，求△OBD面積的最大值．

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已知橢圓C:的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點，以弦為直徑的圓過坐標(biāo)原點，試探討點到直線的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

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如圖，已知橢圓，直線的方程為，過右焦點的直線與橢圓交于異于左頂點的兩點，直線，交直線分別于點，．
（1）當(dāng)時，求此時直線的方程；
（2）試問，兩點的縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

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設(shè)橢圓C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為為，恰是拋物線C2：的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且｜MF2｜=．
（1）求C1的方程；
（2）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若，求直線l的方程．

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已知橢圓的離心率為，其短軸兩端點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩個不同點，直線與軸分別交于點.判斷以為直徑的圓是否過點，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)拋物線：的焦點為，準線為，過準線上一點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，線段的中點為，直線交拋物線于，兩點．
（1）求拋物線的方程及的取值范圍；
（2）是否存在值，使點是線段的中點？若存在，求出值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線（）與橢圓交于、兩點，線段 的垂直平分線交軸于點，當(dāng)變化時,求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知平面內(nèi)一動點到兩個定點、的距離之和為，線段的長為.

（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點作直線與軌跡交于、兩點，且點在線段的上方，
線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點、關(guān)于直線對稱，請說明理由.

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