【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓E：（）過點，其心率等于.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若A，B分別是橢圓E的左，右頂點，動點M滿足，且橢圓E于點P.

①求證：為定值：

②設(shè)與以為直徑的圓的另一交點為Q，求證：直線經(jīng)過定點.

【答案】（1）；（2）①見解析，②見解析.

【解析】

（1）由題意的離心率公式和點滿足題意方程，結(jié)合橢圓的，，的關(guān)系解出方程，進而得到橢圓方程；

（2）①設(shè)，，求得直線的方程，代入橢圓方程，解得點的坐標，再由向量的數(shù)量積的坐標表示，計算即可得證；

②先求得的斜率，再由圓的性質(zhì)可得，求出的斜率，再求直線的方程，即可得到定點.

（1）設(shè)橢圓焦距為，所以且

解得

所以橢圓E的方程為；

（2）設(shè)，，

①易得直線的方程為：，

代入橢圓得，，

由得，，從而，

所以

.

②依題意，，

由得，，

則的方程為：，即，

所以直線過定點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，求的值；

（3）設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，直線的斜率為，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】閱讀如圖所示的程序框圖，若輸出的數(shù)據(jù)為141，則判斷框中應填入的條件為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形是矩形，且平面平面.

（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）當二面角的平面角的余弦值為,求這個六面體的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某科研小組對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)作物種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行分析，分別記錄了每天晝夜溫差和每100顆種子的發(fā)芽數(shù)，其中5天的數(shù)據(jù)如下，該小組的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組求線性回歸方程，再用方程對其余的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

日期

第1天

第2天

第3天

第4天

第5天

溫度（℃）

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)（顆）

23

26

32

26

16

（1）求余下的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；

（2）若選取的是第2、3、4天的數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與2組檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過1顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，請問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？

（參考公式；線性回歸方程中系數(shù)計算公式：，，其中、表示樣本的平均值）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當時，證明:；

（Ⅲ）求證:對任意正整數(shù)，都有 (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）若，，且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的值；

（3）若，若當時，總有，使得，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出以下四個結(jié)論：

①過點，在兩軸上的截距相等的直線方程是；

②若是等差數(shù)列的前n項和，則；

③在中，若，則是等腰三角形；

④已知，，且，則的最大值是2.

其中正確的結(jié)論是________（寫出所有正確結(jié)論的番號）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某景區(qū)的各景點從2009年取消門票實行免費開放后，旅游的人數(shù)不斷地增加，不僅帶動了該市淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu)，促進了該市旅游向“觀光、休閑、會展”三輪驅(qū)動的理想結(jié)構(gòu)快速轉(zhuǎn)變．下表是從2009年至2018年，該景點的旅游人數(shù)（萬人）與年份的數(shù)據(jù)：

第年

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

旅游人數(shù)（萬人）

300

283

321

345

372

435

486

527

622

800

該景點為了預測2021年的旅游人數(shù)，建立了與的兩個回歸模型：

模型①：由最小二乘法公式求得與的線性回歸方程；

模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線的附近．

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求模型②的回歸方程．（精確到個位，精確到0．01）．

（2）根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測2021年該景區(qū)的旅游人數(shù)（單位：萬人，精確到個位）．

回歸方程

①

②

30407

14607

參考公式、參考數(shù)據(jù)及說明：

①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為．②刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)；③參考數(shù)據(jù)：，．

5．5

449

6．05

83

4195

9．00

表中．

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