Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在此拋物線上，，不過(guò)原點(diǎn)的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓M過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求拋物線C的方程；

(2)證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)；

(3)若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求此時(shí)直線和圓M的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)；（3），

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，將轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，從而求出，得到拋物線方程.

（2）直線與拋物線聯(lián)立，得到，然后利用以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即,代入，求出斜率與截距的關(guān)系，得到直線過(guò)的定點(diǎn).

（3）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，得到直線方程，再求出長(zhǎng)度，即圓的半徑，得到圓的方程.

（1）拋物線，其準(zhǔn)線為

點(diǎn)在此拋物線上，，

點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于,即，得

所求拋物線方程為

（2）①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，易知.

聯(lián)立方程組得，從而可得方程

由題意可知

所以

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，

所以，即，所以，所以.

所以直線的方程為，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易求得點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，直線也過(guò)點(diǎn).

綜合①②可知，直線恒過(guò)定點(diǎn).

（3）由題意可知直線斜率存在，設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為

由（2）中所得，

則

所以，解得

所以直線方程為.

因?yàn)榫�段中點(diǎn)坐標(biāo)為，即為圓的圓心坐標(biāo)，

設(shè)圓 .

代入，得

所以圓的方程為