Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其左、右兩焦點分別為F₁、F₂．直線L經過橢圓C的右焦點F₂，且與橢圓交于A、B兩點．若A、B、F₁構成周長為4

2

的△ABF₁，橢圓上的點離焦點F₂最遠距離為

2

+1，且弦AB的長為

4 2

3

，求橢圓和直線L的方程．

Answer 1

依題意，設該橢圓的焦距為2c，
則

4a=4 2 a+c= 2 +1 a2=b2+c2

，
解得a=

2

，b=c=1，
所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1，
由題意可設直線L的方程為y=k（x-1），
聯立直線與橢圓方程得到

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，
整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
若A，B兩點的橫坐標為x₁，x₂，
則

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

（*），
△=16k⁴-8（k²-1）（1+2k²）＞0，
又由弦AB的長為

4 2

3

，
則

[(x1+x2)2-4x1x2](1+k2)

=

4 2

3

將（*）式代入得k²=1，即k=±1
所以所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1，直線方程為y=x-1或y=-x+1．