【題目】如圖,在正方形中,點,分別是,的中點,將分別沿,折起,使兩點重合于.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)證明面面垂直,一般利用面面垂直判定定理,即從線面垂直出發(fā)給予證明,而線面垂直的證明往往利用線面垂直判定與性質(zhì)定理,即從線線垂直出發(fā)給予證明,而線線垂直的尋找與論證往往需結合平幾知識進行:連接交于,則根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得,(Ⅱ)求二面角,一般利用空間向量進行求解,先根據(jù)條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,利用方程組解出各面法向量,利用向量數(shù)量積求法向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角之間關系求解
試題解析:(Ⅰ)證明:連接交于,連接.
在正方形中,點是中點,點是中點,
所以,
所以,
所以在等腰中,是的中點,且,
因此在等腰中,,
從而,
又,
所以平面,
即平面.…………………6分
(Ⅱ)方法一:
在正方形中,連接,交于,設正方形的邊長為2,
由于點是中點,點是中點,
所以,
于是,
從而,
所以,
于是,在翻折后的幾何體中,為二面角的平面角,
在正方形中,解得,,
所以,在中,,,,
由余弦定理得,
所以,二面角的余弦值為.………………………………12分
方法二:
由題知兩兩互相垂直,故以為原點,向量方向分別為,,軸的正方向,建立如圖的空間直角坐標系.
設正方形邊長為2,則,,,.
所以,.
設為平面的一個法向量,
由得,
令,得,
又由題知是平面的一個法向量,
所以.
所以,二面角的余弦值為.………………………………12分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在各棱長為的直四棱柱中,底面為棱形, 為棱上一點,且
(1)求證:平面平面;
(2)平面將四棱柱分成上、下兩部分,求這兩部分的體積之比.
(棱臺的體積公式為,其中分別為上、下底面面積, 為棱臺的高)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)滿足:
①對任意的, ,當時,有成立;
②對恒成立.求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E:+=1(a>b>0),其左右焦點為F1,F2,過F2的直線l交橢圓E于A,B兩點,△AB F1的周長為8,且△AF1F2的面積最大時,△AF1F2為正三角形。
(1)求橢圓E的方程;
(2)若MN是橢圓E經(jīng)過 原點的弦,MN||AB,求證: 為定值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面是邊長為2的等邊三角形, 為的中點.
(1)求證: 平面;
(2)若四邊形是正方形,且,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個焦點坐標分別是,并且經(jīng)過.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過橢圓的右焦點作直線,直線與橢圓相交于兩點,當的面積最大時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點、商業(yè)區(qū)、公共服務區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務,由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)+”,符合“低碳出行”的理念,已越來越多地引起了人們的關注.某部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管,隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調(diào)查,并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100] 分成5組,制成如圖所示頻率分直方圖.
(1) 求圖中的值;
(2) 已知滿意度評分值在[90,100]內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1,若在滿意度評分值為[90,100]的人中隨機抽取4人進行座談,設其中的女生人數(shù)為隨機變量,求的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“石頭、剪刀、布”是個廣為流傳的游戲,游戲時甲乙雙方每次做“石頭”“剪刀”“布”三種手勢中的一種,規(guī)定:“石頭”勝“剪刀”,“剪刀”勝“布”,“布”勝“石頭”,同種手勢不分勝負須繼續(xù)比賽,假設甲乙兩人都是等可能地做這三種手勢.
(1)列舉一次比賽時兩人做出手勢的所有可能情況;
(2)求一次比賽甲取勝的概率,并說明“石頭、剪刀、布”這個廣為流傳的游戲的公平性.
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