Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x-2
（Ⅰ）用定義法證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1]上是減函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-mx是偶函數(shù)，求m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)-∞＜x₁＜x₂≤1，…（2分）
所以，f（x₁）-f（x₂）=（-2x₁-2）-（-2x₂-2）=（x₁-x₂ ）（x₁+x₂-2），…（4分）
因?yàn)?∞＜x₁＜x₂，所以，x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＜0，
所以，f（x₁）-f（x₂）＞0，…（6分）
所以，f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1]上是減函數(shù)．…（8分）
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）-mx=x²-（2+m）x-2，…（10分）
又因?yàn)間（x）是偶函數(shù)，2+m=0，
∴m=-2． …（12分）
分析：（Ⅰ）設(shè)-∞＜x₁＜x₂≤1，計(jì)算 f（x₁）-f（x₂）的結(jié)果等于（x₁-x₂ ）（x₁+x₂-2），可得f（x₁）＞f（x₂），從而判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1]上是減函數(shù)．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）-mx=x²-（2+m）x-2，g（x）是偶函數(shù)，從而得到2+m=0，由此求得m的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷及證明，屬于中檔題．