Question

【題目】已知在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，M，N分別是BC，AE，D1C的中點，AD=AA1 ， AB=2AD． （Ⅰ）證明：MN∥平面ADD1A1；
（Ⅱ）求直線AD與平面DMN所成角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）以D為原點，以DA，DC，DD1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz， 設(shè)AD=1，則A（1，0，0），B（1，2，0），E（ ，2，0），
C（0，2，0），D1（0，0，1），
∵M，N分別是AE，CD1的中點，∴M（ ，1，0），N（0，1， ），
∴ =（﹣ ，0， ）， =（0，2，0）．
∵AB⊥平面ADD1A1 ， ∴ 是平面ADD1A1的一個法向量，
∵ =0，MN平面ADD1A1 ，
∴MN∥平面ADD1A1 ．
（II） =（ ，1，0）， =（1，0，0），設(shè)平面DMN的法向量為 =（x，y，z），
則 ，即 ，令z=1得 =（ ，﹣ ，1），
∴ = ，
∴cos＜ ＞= = ．
∴sinθ= ．

【解析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=1，求出 和平面ADD1A1的法向量 的坐標(biāo)，直線利用數(shù)量積證明AB⊥MN即可；（II）求出平面DMN的法向量 和 的坐標(biāo)，則sinθ=|cos＜ ＞|．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．