文（12分）已知四棱錐P-ABCD，PB⊥AD，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.（1）求點P到平面ABCD的距離；（2）求PD與AB所成角的大��；（3）求二面角A—PB—C的大小.

（1）（2）（3）


解析:

（1）作PO⊥平面ABCD于O，則PO⊥AD，又∵PB⊥AD，

∴AD⊥平面POB，連OB交AD于E，則PE⊥AD，BE⊥AD，

得∠PEB為二面角P-AD-B的平面角.∴∠PEB=120°，

在邊長為2正△PAD中，易得AE=，∴為所求；

（2）易證Rt△PAE≌Rt△BAE（直角邊、斜邊）.∴BE=PE=，∴PB=3.又在Rt△PBC中.∵AB∥DC，∴PD與AB所成角即為PD與DC所成角.在△PDC中，由余弦定理得.∴PD與AB所成角大小為.

（3）取PB中點G及PC中點F，則GF∥BC，而BC⊥PB，∴GF⊥PB；又∵AP=AB，∴AG⊥PB，于是∠AGF為所求平面角.由（2）所證知PE=BE，∴∠PEG=60°，,∴Rt△GAE中, ，∴.

解法2：建立如圖坐標系,則,先證明及,從而知B,

G，A，C.然后由，如與所成的角即為所求平面角.∵，∴平面角.

注：（2）題中可由得.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河北省保定市2009屆高三上學(xué)期調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題(Word版) 題型：044

如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD．

(1)求二面角P－DC－B的大�。�

(2)求證：(理)平面PAD⊥平面PAB；

(文)PA⊥BD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年北師大附中月考文） 已知四棱錐P―ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA = AD = DC =AB = 1.

（I）證明：面PAD⊥面PCD；

（II）求AC與PB所成角的余弦值；

（III）求面PAB與面PBC所成的二面角的大小

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（06年山東卷文）（12分）

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2,PO=,PB⊥PD.

(Ⅰ)求異面直接PD與BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大��；

(Ⅲ)設(shè)點M在棱PC上，且為何值時，PC⊥平面BMD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(理)如圖,已知四棱錐S—ABCD的底面是邊長為4的正方形,S在底面上的射影O落在正方形ABCD?內(nèi),且O到AB、AD的距離分別為2和1.

(1)求證:是定值.

(2)已知P是SC的中點,且SO=3,問在棱SA上是否存在一點Q,使異面直線OP與BQ所成的角為90°?若存在,請給出證明,并求出AQ的長;若不存在,請說明理由.

(文)如圖,在四棱錐S—ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,點E為AB的中點,點F為SC的中點.

(1)求證:EF⊥CD;

(2)求證:平面SCD⊥平面SCE.

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