如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分，橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P、M．
①求證：直線MP經(jīng)過一定點(diǎn)；
②試問：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請求出所有m的值；若不存在，請說明理由．
分析：（1）由圓C2將橢圓C1的長軸三等分，可得2b=
1
3
•2a；又橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
2
4
，可得
a2
c
-c=
2
4
，及a2=b2+c2即可得出；
（2）①由題意知直線PE，ME的斜率存在且不為0，設(shè)直線PE的斜率為k，則PE：y=kx-1，與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線PM的方程，可得直線PM過定點(diǎn)．
②由直線PE的方程與圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線AB的方程．假設(shè)存在圓心為（m，0），半徑為
3
2
5
的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交，則圓心到二直線的距離都小于半徑
3
2
5
．即（i）
|5tm|
1+25t2
＜
3
2
5
，（ii）
|tm+
4
5
|
1+t2
＜
3
2
5
．得出m的取值范圍存在即可．
解答：解：（1）由圓C2將橢圓C1的長軸三等分，∴2b=
1
3
•2a，則a=3b．
∴c=
a2-b2
=2
2
b，
又橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
2
4
，
∴
a2
c
-c=
b2
c
=
2
4
，∴b=1，則a=3，
∴橢圓方程為
x2
9
+y2=1．
（2）①由題意知直線PE，ME的斜率存在且不為0，設(shè)直線PE的斜率為k，則PE：y=kx-1，
由
y=kx-1
x2
9
+y2=1
得
x=
18k
9k2+1
y=
9k2-1
9k2+1
或
x=0
y=-1

∴P(
18k
9k2+1
，
9k2-1
9k2+1
)，
用-
1
k
去代k，得M(
-18k
k2+9
，
9-k2
k2+9
)，
kPM=
9k2-1
9k2+1
-
9-k2
k2+9
18k
9k2+1
+
18k
k2+9
=
k2-1
10k
，
∴PM：y-
9-k2
k2+9
=
k2-1
10k
(x+
18k
k2+9
)，即y=
k2-1
10k
x+
4
5
，
∴直線PM經(jīng)過定點(diǎn)T(0，
4
5
)．
②由
y=kx-1
x2+y2=1
得
x=
2k
1+k2
y=
k2-1
k2+1
或
x=0
y=-1

∴A(
2k
1+k2
，
k2-1
k2+1
)，
則直線AB：y=
k2-1
2k
x，
設(shè)t=
k2-1
10k
，則t∈R，直線PM：y=tx+
4
5
，直線AB：y=5tx，
假設(shè)存在圓心為（m，0），半徑為
3
2
5
的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交，
則（i）
|5tm|
1+25t2
＜
3
2
5
，（ii）
|tm+
4
5
|
1+t2
＜
3
2
5
．
由（i）得25t2(m2-
18
25
)＜
18
25
對t∈R恒成立，則m2≤
18
25
，
由（ii）得，(m2-
18
25
)t2+
8
5
mt-
2
25
＜0對t∈R恒成立，
當(dāng)m2=
18
25
時(shí)，不合題意；當(dāng)m2＜
18
25
時(shí)，△=(
8
5
m)2-4(m2-
18
25
)(-
2
25
)＜0，得m2＜
2
25
，即-
2
5
＜m＜
2
5
，
∴存在圓心為（m，0），半徑為
3
2
5
的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交，所有m的取值集合為(-
2
5
，
2
5
)．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到交點(diǎn)的坐標(biāo)、直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離小于半徑、點(diǎn)到直線的距離公式、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識與攪拌機(jī)能力、考查了推理能力、計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線C1：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為P（
3
，
1
2
）
（1）求拋物線C1及橢圓C2的方程；
（2）已知直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C2交于不同兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M滿足
AM
+
BM
=
0
，直線FM的斜率為k1，試證明k•k1＞
-1
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于C1的長半軸長．
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA，MB分別與C1相交于D，E．
（i）證明：MD⊥ME；
（ii）記△MAB，△MDE的面積分別是S1，S2．問：是否存在直線l，使得
S1
S2
=
17
32
？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•楊浦區(qū)二模）如圖，橢圓C1：
x2
4
+y2=1，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于C1的長半軸長．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA、MB分別與C1相交與D、E．
①證明：MD•ME=0；
②記△MAB，△MDE的面積分別是S1，S2．若
S1
S2
=λ，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖過拋物線C1：x2=4y的對稱軸上一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓為C2．
（1）求證：x1x2為定值；
（2）若l的方程為x-2y+4=0，且C1，C2以及直線l有公共點(diǎn)，求C2的方程；
（3）設(shè)
AP
=λ
PB
，若
QP
⊥(
QA
-μ
QB
)，求證：λ=μ

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同步練習(xí)冊答案