Question

如圖，在直三棱柱（側棱和底面垂直的棱柱）中，，,，且滿足.

（1）求證：平面側面；

（2）求二面角的平面角的余弦值。

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）可證得面側面（2）此問采用空間向量法較好。先建系，寫出個點坐標，再給出各向量的坐標，分別求面和面的法向量。先求得兩法向量所成角的余弦值，但兩法向量所成的角和二面角相等或互補，觀察可知此二面角為頓角，所以余弦值為負值。

試題解析：（1）證明： ，

又

4分

（2）由（Ⅰ）知，以點為坐標原點，以所在的直線分

別為軸、軸、軸，可建立如圖所示的空間直角坐標系，

, , ,

又由線段上分別有一點，

滿足，

所以E(1，2，0), F(0，1，1) 6分

面的一個法向量 8分

此時面的一個法向量為,則。

設所求二面角平面角為，觀察可知為鈍角，

則 。 12分

考點：1線面垂直、面面垂直；2空間向量法解立體幾何。