Question

【題目】某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為.

(1)若出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為，求的分布列；

(2) 該廠至少有多少名工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不少于90%？

(3)已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤，若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ．

【解析】試題分析：（1）首先利用題意判定該隨機變量服從二項分布，再利用二項分布的概率公式求出每個變量對應的概率，再列表得到分布列；（2）利用互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式進行求解；（3）列出隨機變量的所有可能取值，利用對應關系得到每個變量的概率，列表得到分布列，進而得到期望值.

試題解析：（1）一臺機器運行是否出現(xiàn)故障可看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現(xiàn)故障設為，則事件的概率為，該廠有4臺機器就相當于4次獨立重復試驗，因出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為，故，

， ,

，

即的分布列為：

（2）設該廠有名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障及時進行維修”為，即， ， ， ，這個互斥事件的和事件，則

%,

至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不少于90%.

（3）設該廠獲利為萬元，則的所有可能取值為：

，

，

，

即的分布列為：

則，

故該廠獲利的均值為.