Question

已知函數(shù)y=(sinx+cosx)2+2

3

cos2x求它的最大、最小值，并指明函數(shù)取最大、最小值時(shí)相應(yīng)x的取值集合．

Answer 1

分析：先對(duì)所給的函數(shù)的解析進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到y(tǒng)=2sin（2x+

π

3

）+1+

3

，再判斷最值及相應(yīng)的自變量的取值集合．

解答：解：由題y=(sinx+cosx)2+2

3

cos2x=1+sin2x+

3

（1+cos2x）=2sin（2x+

π

3

）+1+

3

它的最大值是3+

3

，此時(shí)2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈z，x=kπ+

π

6

，k∈z，函數(shù)取最大值時(shí)相應(yīng)x的取值集合{x|x=kπ+

π

6

，k∈z}
它的最小值是3-

3

，此時(shí)2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈z，x=kπ-

5π

6

，k∈z，函數(shù)取最大值時(shí)相應(yīng)x的取值集合{x|x=kπ+

5π

6

，k∈z}

點(diǎn)評(píng)：本題目考查三角函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角恒等變換公式，將所給的三角解析式化簡(jiǎn)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的形式，再由三角的性質(zhì)求出最值，及取到最值時(shí)相應(yīng)x的取值集合．