Question

若將函數(shù)f（x）=sinx的圖象按向量

a

=(-π，-2)平移后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）-

1

g(x)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)P（x，y）是函數(shù)f（x）=sinx的圖象上任意一點(diǎn)，按向量

a

=(-π，-2）平移后在函數(shù)g（x）的圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P^′（x^′，y^′），再根據(jù)平移前后對(duì)應(yīng)坐標(biāo)之間的關(guān)系找到

x=x′+π y=y′+2

；最后代入函數(shù)f（x）=sinx的解析式即可得到函數(shù)g（x）的解析式；
（2）把第一問的結(jié)果直接代入，整理后借助于基本不等式即可求出函數(shù)F（x）=f（x）-

1

g(x)

的最小值．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y）是函數(shù)f（x）=sinx的圖象上任意一點(diǎn)，
按向量

a

=(-π，-2）平移后在函數(shù)g（x）的圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P^′（x^′，y^′），
則

x′=x-π y′=y-2

⇒

x=x′+π y=y′+2

即y^′+2=sin（x′+π），
所以函數(shù)g（x）=-sinx-2；
（2）∵F（x）=f（x）-

1

g(x)

=sinx+

1

sinx+2

=sinx+2+

1

sinx+2

-2
≥2

(sinx+2)• 1 sinx+2

-2=0．

當(dāng)sinx+2=

1

sinx+2

即sinx=-1時(shí)，F(xiàn)（x）_min=0．．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的平移以及利用基本不等式求函數(shù)的值域．三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減