已知曲線C上任意一點M到點F（1，0）的距離比它到直線x=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=-x+b與曲線C相交于A，B兩點，P（1，2），設直線PA、PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1+k2為定值．
（Ⅰ）由題意，M到F（1，0）距離等于它到直線x=-1的距離，由拋物線定義，知C為拋物線，F(xiàn)（1，0）為焦點，x=-1為準線，所以C的方程為y2=4x．…（4分）
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）
聯(lián)立
y=-x+b
y2=4x
?x2-(2b+4)x+b2=0
∴x1+x2=2b+4，x1x2=b2…（6分）
k1+k2=
y1-2
x1-1
+
y2-2
x2-1
=
(y1-2)(x2-1)+(y2-2)(x1-1)
(x1-1)(x2-1)

=
y1x2-y1-2x2+2+y2x1-y2-2x1+2
(x1-1)(x2-1)

=
y1x2+y2x1-(y1+y2)-2(x1+x2)+4
(x1-1)(x2-1)

=
x2(-x1+b)+x1(-x2+b)-(-x1+b-x2+b)-2(x1+x2)+4
(x1-1)(x2-1)

=
-2x1x2+(b-1)(x1+x2)+4-2b
(x1-1)(x2-1)

=
-2b2+(b-1)(2b+4)+4-2b
(x1-1)(x2-1)
=0…（10分）
所以k1+k2為定值．…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C上任意一點M到點F（1，0）的距離比它到直線l：x=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）斜率為1的直線l過點F，且與曲線C交與A、B兩點，求線段AB的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C上任意一點M到點F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點P（2，2）的直線與曲線C交于A、B兩點，設
AP
=λ
PB
．當△AOB的面積為4
2
時（O為坐標原點），求λ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C上任意一點到點M（0，
1
2
）的距離與到直線y=-
1
2
的距離相等．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設A1（x1，0），A2（x2，0）是x軸上的兩點（x1+x2≠0，x1x2≠0），過點A1，A2分別作x軸的垂線，與曲線C分別交于點A1′，A2′，直線A1′A2′與x軸交于點A3（x3，0），這樣就稱x1，x2確定了x3．同樣，可由x2，x3確定了x4．現(xiàn)已知x1=6，x2=2，求x4的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•松江區(qū)三模）在平面直角坐標系中，O為坐標原點．已知曲線C上任意一點P（x，y）（其中x≥0）到定點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若直線l經(jīng)過點F（1，0），求
OA
•
OB
的值；
（3）若
OA
•
OB
=-4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，O為坐標原點．已知曲線C上任意一點P（x，y）（其中x≥0）到定點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若過點F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點，求
OA
•
OB
的值；
（3）若曲線C上不同的兩點M、N滿足
OM
•
MN
=0，求|
ON
|的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案