Question

定義運(yùn)算a*b=

ab+2a-b 2 - 3 4 ，a≤b b2-ab ，a＞b

，設(shè)函數(shù)f（x）=（2x+1）*（x+1），且關(guān)于x的方程f（x）=m恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，則x₁x₂x₃的取值范圍是

(0，

9

4

)

．

Answer 1

分析：先由新定義得出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而畫(huà)出其圖象并求出方程f（x）=m取得三個(gè)根的條件，最后再求出x₁x₂x₃的取值范圍即可．

解答：解：由定義可知：f（x）=

x2+3x+ 1 4 ，當(dāng)x≤0時(shí) -x2-x，當(dāng)x＞0時(shí)

，畫(huà)出圖象如圖所示：
∵當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=(x+

3

2

)2-2≥-2；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-(x+

1

2

)2+

1

4

＜0．
∴當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=m恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，則x₁，x₂是方程x2+3x+

1

4

=m的兩個(gè)根，x₃是方程-x²-x=m的正根．
∴x1x2=

1

4

-m，x3=

1-4m -1

2

．
∴x₁x₂x₃=

(1-4m)( 1-4m -1)

8

（-2＜m＜0）．
令

1-4m

=t，即1-4m=t²．又∵-2＜m＜0，∴1＜t＜3．
φ（t）=

t2(t-1)

8

，
則φ′(t)=

3t2-2t

8

=

3t(t- 2 3 )

8

，
∵1＜t＜3，∴φ^′（t）＞0，∴函數(shù)φ（t）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增，∴φ（1）＜φ（t）＜φ（3），即0＜φ（t）＜

9

4

．
∴x₁x₂x₃的取值范圍是(0，

9

4

)．
故答案為(0，

9

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是新定義、方程的根的存在性及根的個(gè)數(shù)，由新定義正確得出函數(shù)的解析式并畫(huà)出圖象，進(jìn)而求出方程f（x）=m取得三個(gè)根的條件是解題的關(guān)鍵．