已知雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為
3
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．
分析：（1）設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，由已知易求a，c，根據(jù)a，b，c的平方關(guān)系即可求得b值；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由
OA
•
OB
＞2，可得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
2
)(kx2+
2
)=(k2+1)x1x2+
2
k(x1+x2)+2＞2，聯(lián)立方程組消掉y，根據(jù)韋達(dá)定理即可得到關(guān)于k的不等式，注意判別式大于0，解出即得k的范圍．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，
由題意知，a=
3
，c=2，∴b2=c2-a2=1，解得b=1，
故雙曲線方程為
x2
3
-y2=1．
（2）將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1，得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0
由
1-3k2≠0
△＞0
得k2≠
1
3
，且k2＜1，x1+x2=
6
2
k
1-3k2
，x1x2=
-9
1-3k2
，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由
OA
•
OB
＞2，
得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
2
)(kx2+
2
)=(k2+1)x1x2+
2
k(x1+x2)+2=(k2+1)
-9
1-3k2
+
2
k
6
2
k
1-3k2
+2＞2，得
1
3
＜k2＜3．
又k2＜1，∴
1
3
＜k2＜1，解得k∈(-1，-
3
3
)∪(
3
3
，1)，
所以k的取值范圍為（-1，-
3
3
）∪（
3
3
，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查向量數(shù)量積運(yùn)算及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及對(duì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C的一條漸近線為y=
1
2
x，且與橢圓x2+
y2
6
=1有公共焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）直線l：x-
2
y-2=0與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓是否過(guò)原點(diǎn)，并說(shuō)明理由．

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已知雙曲線C：y2-x2=8，直線l：y=-x+8，若橢圓M與雙曲線C有公共焦點(diǎn)，與直線l有公共點(diǎn)P，求橢圓長(zhǎng)軸的最小值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：四川省模擬題 題型：解答題

已知雙曲線方程，橢圓方程，A、D分別是雙曲線和橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，B、C分別為雙曲線和橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|，|OB|，
|OC|，|OD|成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若E是橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MC⊥CE，連接EM，交橢圓于點(diǎn)P，在x軸上有異于點(diǎn)E的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線CP、MQ的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C的方程為x2-y2=4,橢圓E以雙曲線C的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),且橢圓右頂點(diǎn)A到雙曲線C的漸近線距離為3.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若直線y=x與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)(M點(diǎn)在第一象限),P、Q是橢圓上不同于M的相異兩點(diǎn),并且∠PMQ的平分線垂直于x軸.試求直線PQ的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C的方程為x2-y2=4.橢圓E以雙曲線C的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),且其右頂點(diǎn)A到雙曲線C的漸近線距離為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若直線y=x與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)(M點(diǎn)在第一象限),P、Q是橢圓上不同于M的相異兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),并且滿足(+)·(-)=0.試求直線PQ的斜率.

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