已知左焦點為F(-1,0)的橢圓過點E（1,）.過點P(1,1)分別作斜率為k1,k2的橢圓的動弦AB,CD,設M,N分別為線段AB,CD的中點.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)若P為線段AB的中點,求k1;

(3)若k1+k2=1,求證直線MN恒過定點,并求出定點坐標.

 

【答案】

(1) +=1 (2) - (3)證明見解析 （0,-）

【解析】

解:(1)依題設c=1,且右焦點F′(1,0).

所以2a=|EF|+|EF′|=+

=2,

b2=a2-c2=2,

故所求的橢圓的標準方程為+=1.

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),

則+=1,①

+=1.②

②-①,得+=0.

所以k1==-=-=-.

(3)依題設,k1≠k2.

設M(xM,yM),

又直線AB的方程為y-1=k1(x-1),

即y=k1x+(1-k1),

亦即y=k1x+k2,

代入橢圓方程并化簡得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0.

于是,xM=,yM=,

同理,xN=,yN=.

當k1k2≠0時,

直線MN的斜率k==

=.

直線MN的方程為y-=(x-),

即y=x+(·+),

亦即y=x-.

此時直線過定點（0,-）.

當k1k2=0時,直線MN即為y軸,

此時亦過點（0,-）.

綜上,直線MN恒過定點,且坐標為（0,-）.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南通一模）已知左焦點為F（-1，0）的橢圓過點E（1，
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）．過點P（1，1）分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD，設M，N分別為線段AB，CD的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若P為線段AB的中點，求k1；
（3）若k1+k2=1，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知左焦點為F（-1，0）的橢圓過點E（1，
2
3
3
）．過點P（1，1）分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD，設M，N分別為線段AB，CD的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若P為線段AB的中點，求k1；
（3）若k1+k2=1，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分14分）

   已知橢圓C1： (a>b>0)的離心率為，直線：＋2＝0與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切。

  （1）求橢圓C1的方程；

  （2)設橢圓C1的左焦點為F 1，右焦點F2,直線過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直直線于點P，線段PF2的垂直平分線交于點M,求點M的軌跡C2的方程；

  （3）若A(x1，2)、B(x2 ，Y2)、C(x0，y0)是C2上不同的點，且AB⊥ BC，求Yo的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年江蘇省南通市高考數(shù)學一模試卷（解析版） 題型：解答題

已知左焦點為F（-1，0）的橢圓過點E（1，）．過點P（1，1）分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD，設M，N分別為線段AB，CD的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若P為線段AB的中點，求k1；
（3）若k1+k2=1，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標．

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