Question

已知向量

m

=（sinB，1-cosB）與向量

n

=（2，0）的夾角為

π

3

，其中A、B、C是△ABC的內(nèi)角．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)兩向量的夾角及兩向量的求出兩向量的數(shù)量積，然后再利用平面向量的數(shù)量積的運算法則計算，兩者計算的結(jié)果相等，兩邊平方且利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，得到關(guān)于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）由B的度數(shù)，把所求的式子利用三角形的內(nèi)角和定理化為關(guān)于A的式子，再利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，最后利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由A的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知正弦函數(shù)值的范圍，進而得到所求式子的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

•

n

=2sinB，（1分）
又

m

•

n

=

sin2B+(1-cosB)2

×2×

1

2

=

2-2cosB

，（2分）
∴2sinB=

2-2cosB

化簡得：2cos²B-cosB-1=0，
∴cosB=1（舍去）或cosB=-

1

2

，（4分）
又∵B∈（0，π），∴B=

2

3

π；（5分）
（Ⅱ）sinA+sinC=sinA+sin(

π

3

-A)=sinA+

3

2

cosA-

1

2

sinA=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin(A+

π

3

)（8分）
∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2

3

π，
則

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1，
∴sinA+sinC∈(

3

2

，1]（10分）

點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積的運算，向量的數(shù)量積表示向量的夾角，三角函數(shù)的恒等變換以及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運用．學(xué)生做題時注意角度的范圍，熟練掌握三角函數(shù)公式，牢記特殊角的三角函數(shù)值，掌握正弦函數(shù)的值域．