Question

（2013•臨沂一模）如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右頂點為A、B，離心率為

3

2

，直線x-y+l=0經(jīng)過橢圓C的上頂點，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：x=-

10

3

分別交于M，N兩點．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求線段MN長度的最小值；
（Ⅲ）當線段MN長度最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點P，使得△PAS的面積為l？若存在，確定點P的個數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意（0，b）在直線x-y+1=0上，代入解得b．再利用e=

c

a

，b²+c²=a²，解得a，c即可．
（II）設直線AS的斜率為k（k＞0），則直線AS：y=k（x+2），與x=-

10

3

聯(lián)立解得M，把直線y=k（x+2）與橢圓方程聯(lián)立即可解得S，進而得到直線BS的方程，即可得出點N的坐標即|MN|，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最小值；
（III）利用（II）可得k及點S的坐標，可得|AS|，可得AS方程為y=x+2，及P在與AS平行的直線y=x+m上．利用點到直線的距離公式及三角形的面積公式可得m，把直線y=x+m與橢圓的方程聯(lián)立即可得出交點P的坐標．

解答：解：（I）由題意（0，b）在直線x-y+1=0上，代入解得b=1．
又∵e=

c

a

=

3

2

，b²+c²=a²，解得a=2，c=

3

．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（II）由（I）A（-2，0），B（2，0）．
設直線AS的斜率為k（k＞0），則直線AS：y=k（x+2），與x=-

10

3

聯(lián)立解得M(-

10

3

，-

4k

3

)．
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
∴xA•xS=-2xS=

16k2-4

1+4k2

，∴xS=

2-8k2

1+4k2

．
把x_S代入y=k（x+2）得yS=

4k

1+4k2

，即S(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)．
∴k_BS=

4k 1+4k2 -0

2-8k2 1+4k2 -2

=-

1

4k

．
∴直線BS的方程為y=-

1

4k

(x-2)，∴yN=-

1

4k

(-

10

3

-2)=

4

3k

，

∴|MN|=|y_N-y_M|=|

4

3k

-(-

4

3

k)|=

4

3

|k+

1

k

|=

4

3

(k+

1

k

)≥

8

3

，當且僅當k=1時取等號．
（III）由（II）可知：k=1時線段MN取得最小值，此時S(-

6

5

，

4

5

)，|AS|=

(-2+ 6 5 )2+( 4 5 )2

=

4

5

2

．
可得AS方程為y=x+2，P在與AS平行的直線y=x+m上．
∴點P到AS的距離等于兩平行線距離

|m-2|

2

，∴△ASP的面積為1．
∴

1

2

×

4

5

2

×

|m-2|

2

=1，
∴|m-2|=

5

2

，解得m=-

1

2

或

9

2

．
又由

y=x+m x2 4 +y2=1

，得5x²+8mx+4m²-4=0，
△=（8m）2-4×5（4m²-4）=16（5-m²），
驗證可知：當m=-

1

2

時，△=16×[5-(-

1

2

)2]=76＞0．
∴P點存在，有兩個．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到判別式及根與系數(shù)的關(guān)系、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．