【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣2ax,a∈R.
(1)若函數(shù)y=f(x)存在與直線2x﹣y=0平行的切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)g(x)=f(x)+ ,若g(x)有極大值點(diǎn)x1 , 求證: >a.
【答案】
(1)解:因?yàn)閒′(x)= ﹣2a,x>0,
因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)存在與直線2x﹣y=0平行的切線,
所以f′(x)=2在(0,+∞)上有解,
即 ﹣2a=2在(0,+∞)上有解,也即2+2a= 在(0,+∞)上有解,
所以2+2a>0,得a>﹣1,
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(﹣1,+∞);
(2)解:證明:因?yàn)間(x)=f(x)+ x2= x2+lnx﹣2ax,
因?yàn)間′(x)= ,
①當(dāng)﹣1≤a≤1時(shí),g(x)單調(diào)遞增無極值點(diǎn),不符合題意,
②當(dāng)a>1或a<﹣1時(shí),令g′(x)=0,設(shè)x2﹣2ax+1=0的兩根為x1和x2,
因?yàn)閤1為函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn),所以0<x1<x2,
又x1x2=1,x1+x2=2a>0,所以a>1,0<x1<1,
所以g′(x1)= ﹣2ax1+ =0,則a= ,
要證明 + >a,只需要證明x1lnx1+1>a ,
因?yàn)閤1lnx1+1﹣a =x1lnx1﹣ +1=﹣ ﹣ x1+x1lnx1+1,0<x1<1,
令h(x)=﹣ ﹣ x+xlnx+1,x∈(0,1),
所以h′(x)=﹣ x2﹣ +lnx,記P(x)=﹣ ﹣ +lnx,x∈(0,1),
則P′(x)=﹣3x+ = ,
當(dāng)0<x< 時(shí),p′(x)>0,當(dāng) <x<1時(shí),p′(x)<0,
所以p(x)max=p( )=﹣1+ln <0,所以h′(x)<0,
所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以h(x)>h(1)=0,原題得證.
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為2+2a= 在(0,+∞)上有解,求出a的范圍即可;(2)求出g(x)的解析式,通過討論a的范圍,問題轉(zhuǎn)化為證明x1lnx1+1>a ,令h(x)=﹣ ﹣ x+xlnx+1,x∈(0,1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.
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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的x為4,則運(yùn)行的次數(shù)與輸出x的值分別為( )
A.5.730
B.5.729
C.4.244
D.4.243
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O為AC的中點(diǎn),PO⊥平面ABCD,PO=1,M為PD的中點(diǎn). (Ⅰ)證明:PB∥平面ACM;
(Ⅱ)設(shè)直線AM與平面ABCD所成的角為α,二面角M﹣AC﹣B的大小為β,求sinαcosβ的值.
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【題目】已知函數(shù) ,集合M={0,1,2,3,4,5,6,7,8},現(xiàn)從M中任取兩個(gè)不同元素m,n,則f(m)f(n)=0的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足 ,設(shè){Sn}的前n項(xiàng)和為Tn , T2017= .
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【題目】河南多地遭遇年霾,很多學(xué)校調(diào)整元旦放假時(shí)間,提前放假讓學(xué)生們?cè)诩叶泠玻嵵菔懈鶕?jù)《鄭州市人民政府辦公廳關(guān)于將重污染天氣黃色預(yù)警升級(jí)為紅色預(yù)警的通知》,自12月29日12時(shí)將黃色預(yù)警升級(jí)為紅色預(yù)警,12月30日0時(shí)啟動(dòng)Ⅰ級(jí)響應(yīng),明確要求“幼兒園、中小學(xué)等教育機(jī)構(gòu)停課,停課不停學(xué)”.學(xué)生和家長(zhǎng)對(duì)停課這一舉措褒貶不一,有為了健康贊成的,有怕耽誤學(xué)習(xí)不贊成的,某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解公眾對(duì)該舉措的態(tài)度,隨機(jī)調(diào)查采訪了50人,將調(diào)查情況整理匯總成如表:
年齡(歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 4 | 6 | 9 | 6 | 3 | 4 |
(Ⅰ)請(qǐng)?jiān)趫D中完成被調(diào)查人員年齡的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)若從年齡在[25,35),[65,75]兩組采訪對(duì)象中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行深度跟蹤調(diào)查,選中4人中不贊成這項(xiàng)舉措的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一點(diǎn),且 =5,則| |等于( )
A.2
B.4
C.6
D.1
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【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,AD=AB=DC= BC=1,E是PC的中點(diǎn),面PAC⊥面ABCD.
(Ⅰ)證明:ED∥面PAB;
(Ⅱ)若PC=2,PA= ,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣ax+2lnx(其中a是實(shí)數(shù)).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若設(shè)2(e+ )<a< ,且f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2(x1<x2),求f(x1)﹣f(x2)取值范圍.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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