Question

判斷并證明函數(shù)f(x)=

1

1+x2

在（-∞，0）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，先設(shè)在所給區(qū)間上有任意兩個(gè)自變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比較f（x₁）與
f（x₂）的大小，做差后，應(yīng)把差的盡可能地分解為幾個(gè)因式的乘積的形式，通過判斷每一個(gè)因式的正負(fù)，來判斷積的正負(fù)，最后得出結(jié)論．

解答：解：該函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，
證明：設(shè)?x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
因?yàn)?span id="vv512gv" class="MathJye">f(x1)-f(x2)=

1

1+ x 2 1

-

1

1+ x 2 2

=

x 2 2 - x 2 1

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x1+x2)(x2-x1)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

當(dāng)x₁＜x₂＜0時(shí)，x2-x1＞0，x1+x2＜0，1+

x

2 1

＞0，1+

x

2 2

＞0；
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故該函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，做題時(shí)應(yīng)該嚴(yán)格按照步驟去做．