已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)．若
FA
+
FB
+
FC
=
0
，且|
FA
|+|
FB
|+|
FC
|=6．
（1）求拋物線方程；
（2）（文）若OA⊥OB，直線AB與x軸交于一點(diǎn)（m，0），求m．
（2）（理）若以為AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，則求證直線AB經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
分析：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根據(jù)根據(jù)拋物線的定義得：x1+x2+x3+
3p
2
=6…①；根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得：x1+x2+x3-
3p
2
=0…②，聯(lián)解①②可得拋物線方程為：y2=4x；
（2）（文）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)OA⊥OB，得
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0…③．再由直線y=k（x-m）與拋物線方程消去x得：ky2-4y-4km=0，結(jié)合韋達(dá)定理得：y1y2=-4m，結(jié)合拋物線方程求得x1x2=
1
16
（y1y2）2=m2，將它代入③，得m2+（-4m）=0，所以m=0（舍）或m=4．
（理）設(shè)直線AB方程為：y-y1=k（x-x1），其中斜率k=
y1-y2
x1-x2
=
4
y1+y2
，直線AB方程化為：y-y1=
4
y1+y2
（x-x1）．結(jié)合以為AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可以證明出x1x2+y1y2=0…④，將x1=
1
4
y12，x2=
1
4
y22，代入④得：
1
16
（y1y2）2+y1y2=0，從而y1y2=-16，可得y2=-
16
y1
．最后將y2=-
16
y1
和x1=
1
4
y12代入直線AB方程，化簡(jiǎn)可得：4x-（y1+
16
y1
）y-16=0，再令y=0得x=4，因此直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（4，0）．
解答：解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
∵點(diǎn)A（x1，y1）在拋物線y2=2px上，
∴根據(jù)拋物線的定義得|
FA
|=x1+
p
2
，同理可得|
FB
|=x2+
p
2
，|
FC
|=x2+
p
2

∵|
FA
|+|
FB
|+|
FC
|=6，
∴x1+x2+x3+
3p
2
=6…①
∵F(
p
2
，0)，∴
FA
=（x1-
p
2
，y1），
FB
=（x2-
p
2
，y2），
FC
=（x3-
p
2
，y3），
又∵
FA
+
FB
+
FC
=
0
，
∴x1+x2+x3-
3p
2
=0…②
聯(lián)解①②得：P=2    
因此，拋物線方程為：y2=4x
（2）（文）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
∵OA⊥OB，∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0…③
設(shè)過(guò)點(diǎn)m的直線方程為：y=k（x-m），
由
y=k(x-m)
y2=4x
，消去x得：ky2-4y-4km=0
由韋達(dá)定理得：y1y2=-4m，所以x1x2=
1
4
y12•
1
4
y22=
1
16
（y1y2）2=m2，
將上式代入③，得m2+（-4m）=0，所以m=0（舍）或m=4．
（2）（理）設(shè)直線AB方程為：y-y1=k（x-x1），
其中斜率k=
y1-y2
x1-x2
=
y1-y2
1
4
y12-
1
4
y22
=
4
y1+y2

∴直線AB方程化為：y-y1=
4
y1+y2
（x-x1），
∵以為AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴∠AOB=90°，可得向量
OA
⊥
OB
，所以
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0…④
∵A（x1，y1），B（x2，y2）都在拋物線y2=4x上，
∴x1=
1
4
y12，x2=
1
4
y22，代入④得：
1
16
（y1y2）2+y1y2=0
∴y1y2=-16（舍y1y2=0），可得y2=-
16
y1
，
將y2=-
16
y1
和x1=
1
4
y12代入直線AB方程，化簡(jiǎn)可得：4x-（y1+
16
y1
）y-16=0
令y=0，得x=4，因此直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（4，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題以直線方程和向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知拋物線y2=2px（p＞0）．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．
（1）求拋物線上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)N（2p，0）的最近距離；
（2）過(guò)點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M不在x軸上時(shí)，證明：
kMA+kMBkMF
是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過(guò)點(diǎn)M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．求證：直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

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