（Ⅰ）已知矩陣M=
2
3
-
1
3
1
3
1
3
，△ABC的頂點為A（0，0），B（2，0），C（1，2），求△ABC在矩陣M-1的變換作用下所得△A′B′C′的面積．
（Ⅱ）極坐標的極點是直角坐標系原點，極軸為X軸正半軸，直線l的參數(shù)方程為
x=x0+
1
2
t
y=
3
2
t
．
（t為參數(shù)）．⊙O的極坐標方程為ρ=2，若直線l與⊙O相切，求實數(shù)x0的值．
（Ⅲ）已知a，b，c∈R+，且
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，求a+2b+3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值．
分析：（1）由M•M-1=E，可得M-1，求出變換作用下的A′，B′，C′的坐標，利用余弦公式求出三角形一個角，得∠A是直角，由面積公式求出面積．
（2）利用已知條件，求出在直角坐標系中直線1與⊙0的方程，發(fā)現(xiàn)其分別為直線和圓，根據(jù)相切原理，知圓心O（0，0）到直線L的距離為2，又根據(jù)求距離公式，即可求出x0．
（3）根據(jù)柯西不等式，即可解答．
解答：解：（1）由M•M-1=E，可得M-1 =
.
11
-12
.
，（3分）
.
11
-12
.
.
0
0
.
=
.
0
0
.
，
.
11
-12
.
.
2
0
.
=
.
2
-2
.
，
.
11
-12
.
.
1
2
.
=
.
3
3
.
，
∴變換作用下得A’（0，0），B‘（2，-2），C’（3，3），（5分）
cos∠B′A′C′=
AB
•
AC
|
AB
|•|
AC
|

故
AB
⊥
AC
.S△A′B′C′=
1
2
|
AB
|•|
AC
|=6，（7分）
（2）解：直線L的普通方程為y=
3
(x-x0)，（2分）
⊙0的直角坐標方程為x2+y2=4．（4分）
∵直線L與⊙0相切
∴圓心O（0，0）到直線L：
3
x-y-
3
x0=0的距離為2．
即
|
3x0
|
2
=2，解得x0=±
4
3
3
．（7分）
（3）解：由柯西不等式得
(
1
a
+
2
b
+
3
c
)(a+2b+3c)=[(
1
a
)2+(
2
b
)2+(
3
c
)2][(
a
)2+(
2b
)2+(
3c
)2]≥(
1
a
•
a
+
2
b
•
2b
+
3
c
3c
=36)2=36．（5分）
又
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，∴a+2b+3c≥18．當且僅當
1
a
a
=
2
b
2b
3
c
3c
，
即a=b=c=3時等式成立．
∴當a=b=c=3時，a+2b+3c取得最小值18．（7分）
點評：本題主要考查矩陣、逆矩陣、矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)A、選修4-1：幾何證明選講 
如圖，PA與⊙O相切于點A，D為PA的中點，
過點D引割線交⊙O于B，C兩點，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
12
2x
的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=t
y=1+2t
（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數(shù)y=
1-x
+
4+2x
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣M=
2  1
4  2
，向量
β
=
.
1 
7 
.
．
（1）求矩陣M的特征向量；
（2）計算M50
β
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣M=
2a
21
，其中a∈R，點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P′（-4，0），則實數(shù)a=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•徐州模擬）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，
若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，半徑分別為R，r（R＞r＞0）的兩圓⊙O，⊙O1內(nèi)切于點T，P是外圓⊙O上任意一點，連PT交⊙O1于點M，PN與內(nèi)圓⊙O1相切，切點為N．求證：PN：PM為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
21
34

（1）求矩陣M的逆矩陣；
（2）求矩陣M的特征值及特征向量；
C．選修4-2：矩陣與變換
在平面直角坐標系x0y中，求圓C的參數(shù)方程為
x=-1+rcosθ
y=rsinθ
(θ為參數(shù)r＞0），以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=2
2
．若直線l與圓C相切，求r的值．
D．選修4-5：不等式選講
已知實數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求證：1＜a+b＜
4
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知矩陣M=
2  1
4  2
，向量
β
=
.
1 
7 
.
．
（1）求矩陣M的特征向量；
（2）計算M50
β
．

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