Question

如圖，矩形ABCD中，|AB|=10，|BC|=6，現(xiàn)以矩形ABCD的AB邊為x軸，AB的中點為原點建立直角坐標系，P是x軸上方一點，使得PC、PD與線段AB分別交于點C₁、D₁，且|AD₁|，|D₁C₁|，|C₁B|成等比數(shù)列．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）求動點P到直線l：x+y+6=0距離的最大值及取得最大值時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）設點P的坐標為（x，y）（y＞0），用坐標分別表示出|AD₁|，|D₁C₁|，|C₁B|，利用|AD₁|，|D₁C₁|，|C₁B|成等比數(shù)列，得方程，進而化簡即可得動點P的軌跡方程；
（2）由圖易知當與直線l平行的直線與半橢圓相切于點P時，點P到直線l距離的最大．設與直線l：x+y+6=0平行的直線方程為x+y+k=0，代入

x2

25

+

y2

9

=1，化簡得 34x²+50kx+25k²-225=0，利用△=0，可求k的值．從而可求點P到直線l距離的最大值及點P的坐標．

解答：解：（1）設點P的坐標為（x，y）（y＞0），過P作PE∥CD交DA的延長線于E，交CB的延長線于F．

在△DPE中，

|D1A|

|PE|

=

|DA|

|DE|

，得

|D1A|

5-x

=

6

6+y

，
得|D1A|=

6(5-x)

6+y

．
在△PCD中，

|C1D1|

|CD|

=

|PD1|

|PD|

=

|EA|

|ED|

=

y

6+y

，
得|C1D1|=

10y

6+y

．
同理可得|C1B|=

6(5+x)

6+y

．
∵|AD₁|，|D₁C₁|，|C₁B|成等比數(shù)列，
∴|D₁C₁|²=|AD₁|•|C₁B|．
∴（

10y

6+y

）²=

6(5-x)

6+y

•

6(5+x)

6+y

．
化簡得

x2

25

+

y2

9

=1(y＞0)．
∴動點P的軌跡方程為

x2

25

+

y2

9

=1(y＞0)．
（2）由圖易知當與直線l平行的直線與半橢圓相切于點P時，點P到直線l距離的最大．
設與直線l：x+y+6=0平行的直線方程為x+y+k=0，代入

x2

25

+

y2

9

=1，
得 34x²+50kx+25k²-225=0，①
由△=2500k²-3400（k²-9）=0，
解得k²=34，由k＜0，得k=-

34

．
故點P到直線l距離的最大值為

|k-6|

2

=

|- 34 -6|

2

=3

2

+

17

．
把k=-

34

代入①式，可解得點P的坐標為(

25 34

34

，

9 34

34

)．

點評：本題以等比數(shù)列為載體，考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是將問題轉化為當與直線l平行的直線與半橢圓相切于點P時，點P到直線l距離的最大求解