Question

已知點P在曲線C：y=

1

x

（x＞1）上，設(shè)曲線C在點P處的切線為l，若l與函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象的交點為A，與x軸的交點為B，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，A、B的橫坐標(biāo)分別為x_A、x_B，記f（t）=x_A•x_B．
（Ⅰ）求f（t）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}（n≥1，n∈N）滿足a₁=1，a_n=f(

an-1

)（n≥2），數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an

-

k

3

，求a_n與b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)1＜k＜3時，證明不等式：a₁+a₂+…+a_n＞

3n-8k

k

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出曲線C在點P處的切線為l的方程，求出點B的坐標(biāo)，聯(lián)立切線方程與方程y=kx求出點A的坐標(biāo)，代入f（t）=x_A•x_B．就可求得f（t）的解析式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論求出數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系，再利用b_n=

1

an

-

k

3

求出數(shù)列{b_n}的遞推關(guān)系，根據(jù)k的取值分別求出a_n與b_n即可．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)論求出數(shù)列{a_n-

k

3

}的表達式，再對其用放縮法求和，即可證明不等式：a₁+a₂+…+a_n＞

3n-8k

k

．

解答：解：（Ⅰ）∵y=

1

x

，∴y′=-

1

x2

，又點P的坐標(biāo)為(t，

1

t

)，
曲線C在點P處的切線的斜率為-

1

t2

，則切線l的方程為y-

1

t

=(x-t)(-

1

t2

)，
令y=0，得x_B=2t；由

y=kx y- 1 t =- 1 t2 (x-t)

得xA=

2t

kt2+1

，
∴xA•xB=

4t2

kt2+1

故f(t)=

4t2

kt2+1

(t＞1)（3分）
（Ⅱ）由已知，n≥2時，an=

4an-1

kan-1+1

，得

1

an

=

1

4

•

1

an-1

+

k

4

，
∴bn=

1

an

-

k

3

=

1

4

•

1

an-1

+

k

4

-

k

3

=

1

4

(

1

an-1

-

k

3

)=

1

4

bn-1；
①當(dāng)k=3時，b₁=0，數(shù)列{b_n}是以0為首項的常數(shù)列，則b_n=0，從而a_n=1；（5分）
②當(dāng)k≠3時，b1=1-

k

3

≠0，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，b_n=(1-

k

3

)(

1

4

)n-1，
從而an=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

綜上，an=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

，b_n=(1-

k

3

)(

1

4

)n-1（8分）
（Ⅲ）an-

3

k

=

3k-9

k(k•4n-1+3-k)

∵1＜k＜3，∴

3k-9

k

＜0，又0＜

1

k•4n-1+3-k

＜

1

k•4n-1

∴an-

3

k

＞

3k-9

k

•

1

k•4n-1

，即an-

3

k

＞

3k-9

k2

•

1

4n-1

，（10分）
∴(a1-

3

k

)+(a2-

3

k

)++(an-

3

k

)＞

3k-9

k2

(

1

40

+

1

41

++

1

4n-1

)=

3k-9

k2

•

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4(k-3)

k2

[1-(

1

4

)n]＞

4(k-3)

k2

，
∴a1+a2++an＞

3n

k

+

4(k-3)

k2

，（12分）
又∵

4(k-3)

k2

-

-8k

k

=

4(2k+3)(k-1)

k2

＞0，
∴

4(k-3)

k2

＞

-8k

k

，∴a1+a2++an＞

3n

k

+

-8k

k

=

3n-8k

k

，即所證不等式成立．（14分）

點評：本題涉及到用放縮法來證明不等式．當(dāng)函數(shù)與數(shù)列，不等式合在一起出題時，多會涉及到用放縮法來證明不等式．在放縮時，放縮的度要把握好．