Question

已知函數(shù)，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”。記集合

（1）已知，若是在上單調(diào)遞增函數(shù)，是否有？若是，請證明。

（2）記表示集合中元素的個數(shù)，問：

若函數(shù)，若,則是否等于0？若是，請證明，

若，試問：是否一定等于1？若是，請證明

Answer 1

（1）證明：先證 任取，則

                   

       再證 任取

           若，不妨設(shè)

           由單調(diào)遞增可知： 與 矛盾

           同理也矛盾，所以

          

      綜上：

（2）①若  由于無實根  則對任意實數(shù)x，

     從而  故無實根

  同理若  對任意實數(shù)x， ，從而 

故也無實根

  

②不妨設(shè)是B中唯一元素  則

  令  那么  而

  故  說明t也是的不動點

  由于 只有唯一的不動點   故  即

  這說明t也是的不動點，從而存在性得證

以下證明唯一性：若還有另外一個不動點m，即

  則  這說明還有另外一個穩(wěn)定點m

  與題設(shè)矛盾。