Question

已知某橢圓的焦點是F₁（-4，0）、F₂（4，0），過點F₂，并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F₁B|+|F₂B|=10．橢圓上不同的兩點A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）滿足條件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列．
（1）求該橢圓的方程；
（2）求弦AC中點的橫坐標；
（3）設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓定義及條件知2a=|F₁B|+|F₂B|=10，得a=5．又c=4，所以b=

a2-c2

=3．由此可知橢圓方程為

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）由點B（4，y_B）在橢圓上，得|F₂B|=|y_B|=

9

5

．因為橢圓右準線方程為x=

25

4

，離心率為

4

5

．根據橢圓定義，有|F₂A|=

4

5

（

25

4

-x₁），|F₂C|=

4

5

（

25

4

-x₂）．由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列，得x₁+x₂=8．由此可知x₀=

x1+x2

2

=

8

2

=4．
（3）由A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在橢圓上，得9（

x1+x2

2

）+25（

y1+y2

2

）（

y1-y2

x1-x2

）=0（x₁≠x₂）．將

x1+x2

2

=x₀=4，

y1+y2

2

=y₀，

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

（k≠0）代入上式，得9×4+25y₀（-

1

k

）=0（k≠0）．由此可求出m的取值范圍．

解答：（1）解：由橢圓定義及條件知
2a=|F₁B|+|F₂B|=10，得a=5．又c=4，
所以b=

a2-c2

=3．
故橢圓方程為

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）解：由點B（4，y_B）在橢圓上，得|F₂B|=|y_B|=

9

5

．
因為橢圓右準線方程為x=

25

4

，離心率為

4

5

．
根據橢圓定義，有|F₂A|=

4

5

（

25

4

-x₁），|F₂C|=

4

5

（

25

4

-x₂）．
由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列，得

4

5

（

25

4

-x₁）+

4

5

（

25

4

-x₂）=2×

9

5

．
由此得出x₁+x₂=8．
設弦AC的中點為P（x₀，y₀），
則x₀=

x1+x2

2

=

8

2

=4．
（3）解：由A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在橢圓上，得
9x₁²+25y₁²=9×25，④
9x₂²+25y₂²=9×25．⑤
由④-⑤得9（x₁²-x₂²）+25（y₁²-y₂²）=0，
即9（

x1+x2

2

）+25（

y1+y2

2

）（

y1-y2

x1-x2

）=0（x₁≠x₂）．
將

x1+x2

2

=x₀=4，

y1+y2

2

=y₀，

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

（k≠0）代入上式，得
9×4+25y₀（-

1

k

）=0（k≠0）．
由上式得k=

25

36

y₀（當k=0時也成立）．
由點P（4，y₀）在弦AC的垂直平分線上，得
y₀=4k+m，
所以m=y₀-4k=y₀-

25

9

y₀=-

16

9

y₀．
由P（4，y₀）在線段BB′（B′與B關于x軸對稱）的內部，得-

9

5

＜y₀＜

9

5

．
所以-

16

5

＜m＜

16

5

．

點評：在推導過程中，未寫明“x₁≠x₂”“k≠0”“k=0時也成立”及把結論寫為“-

16

5

≤m≤

16

5

”也可以．