Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：（x-3）²+（y+2）²=4，圓C₂：（x+m）²+（y+m+5）²=2m²+8m+10（m∈R，且m≠-3）．
（1）設P為坐標軸上的點，滿足：過點P分別作圓C₁與圓C₂的一條切線，切點分別為T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，試求出所有滿足條件的點P的坐標；
（2）若斜率為正數的直線l平分圓C₁，求證：直線l與圓C₂總相交．

Answer 1

分析：（1）設P為坐標軸上的點，滿足：過點P分別作圓C₁與圓C₂的一條切線，切點分別為T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，可設出P點的坐標，由直線與圓相切的性質及題設條件得到關于所引入參數的方程，解方程，有幾個解，則滿足條件的點P的坐標就有幾個．
（2）斜率為正數的直線l平分圓C₁，故可引入參數k（＞0），用待定系數法表示出直線的方程，然后求出圓心到直線的距離，與圓的半徑作比較即可確定直線與圓的位置關系是相交．

解答：解：（1）由題設條件，圓C₁的圓心坐標（3，-2），半徑為2，圓C₂的圓心坐標（-m，-m-5），半徑為

2m 2+8m+10

∵過點P分別作圓C₁與圓C₂的一條切線，切點分別為T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，
∴PC₁²-4=PC₂²-（2m²+8m+10）
若點P在X軸上，設P（x，0），將P（x，0）及圓心的坐標代入整理得（2m-6）x=-2m+6，故x=-1，
即P（-1，0）
若點P在Y軸上，可設P（0，y），同理解得y=-1，即P（0，-1）
故滿足條件的點P的坐標為（-1，0）或（0，-1）
（2）若斜率為正數的直線l平分圓C₁，可得此直線過定點（3，-2），
設此直線的方程為y+2=k（x-3），整理得kx-y-3k-2=0
圓C₂的圓心到此直線的距離為d=

|-mk+m+5-3k-2|

1+k2

=

|(1-k)(m+3)|

1+k2

由于d²-r²=

(1-2k+k2)(m+3) 2

1+k2

-（2m²+8m+10）
=

(1-2k+k2)(m+3) 2-(1+k2)(2m 2+8m+10)

1+k2

=-m²-2m-1-

2k

1+k2

（m+3）²
=-（m+1）²-

2k

1+k2

（m+3）²＜0 （∵k＞0）
可得在d＜r，即直線l與圓C₂總相交

點評：本題考查直線與圓的方程的應用，考查了直線與圓的位置關系轉化以及以及直線與圓總相交的證明方法，一般證明直線與圓相交，只須說明直線上有一點在圓內即可，由于本題中直線斜率k為正，不是全體實數，故本題采用了用圓心到直線的距離與圓的半徑相比較的方法來證明直線與圓相交，其規(guī)律是若圓心到直線的距離小于半徑即可說明直線與圓相交．