【題目】如圖,在三棱柱中, ,頂點(diǎn)在底面 上的射影恰為點(diǎn) ,且.
(1)求棱 與所成的角的大小;
(2)在棱 上確定一點(diǎn),使,并求出二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,(1)求出與,所在直線的向量,利用向量的夾角公式即可求出結(jié)果,再根據(jù)異面直線成角的范圍,即可求出結(jié)果;(2)平面和平面的法向量分別為m和n,即可求出二面角的平面角的余弦值.
試題解析:解(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則C(0, 2, 0),B(2, 0 , 0),A1(0,-2, 2),B1(4, 0 , 2).從而, =(0,-2, 2),=(-2, 2, 0).
記與的夾角為θ,則有.
又由異面直線AA1與BC所成角的范圍為(0,π),可得異面直線AA1與BC所成的角
為60. 4分
(2)記平面和平面的法向量分別為m和n,則由題設(shè)可令m=(x, y, z),且有平面的法向量為n=(0,2,0).
設(shè)=(-2λ, 2λ, 0),則P(4-2λ, 2λ, 2).
于是AP=,解得λ=或λ=.
又題設(shè)可知λ∈(0, 1),則λ=舍去,故有λ=.
從而,P為棱的中點(diǎn),則坐標(biāo)為P(3, 1, 2).
由平面PAB的法向量為m,故m⊥且m⊥.
由m·=0,即(x, y, z)·(3, 1 ,2)=0,解得3x+y+2z=0; ①
由m·=0,即(x, y, z)·(-1,-1,-2)=0,解得-x-y-2z=0,②
解方程①、②可得,x=0,y+2z=0,令y=-2,z=1,
則有m=(0,-2, 1) .
記平面PAB和平面ABA1所成的角為β,
則cosβ==
故二面角的平面角的余弦值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在(﹣∞,+∞)上的偶函數(shù),且在(﹣∞,0]上是增函數(shù),設(shè)a=f(log47),b=f(log 3),c=f(21.6),則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.c<a<b
B.c<b<a
C.b<c<a
D.a<b<c
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【題目】中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F2,且|F1F2|=,橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4,離心率之比為3∶7.
(1)求這兩曲線的方程;
(2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),求cos∠F1PF2的值.
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【題目】2017年9月16日05時(shí),第19號(hào)臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”的中心位于甲地,它以每小時(shí)30千米的速度向西偏北的方向移動(dòng),距臺(tái)風(fēng)中心千米以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,若16日08時(shí)到17日08時(shí),距甲地正西方向900千米的乙地恰好受臺(tái)風(fēng)影響,則和的值分別為(附: )( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染,提供了批號(hào)分別為的五批疫苗,供全市所轄的三個(gè)區(qū)市民注射,每個(gè)區(qū)均能從中任選其中一個(gè)批號(hào)的疫苗接種.
(1)求三個(gè)區(qū)注射的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同的概率;
(2)記三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為,求 的分布列及期望.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷的單調(diào)性;
(2)若在上為單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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【題目】已知命題p:實(shí)數(shù)x滿足x2-5ax+4a2<0,其中a>0,命題q:實(shí)數(shù)x滿足.
(1)若a=1,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(2)若¬p是¬q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,某城市的一種小商品在過(guò)去的近20天內(nèi)的銷售量(件)與價(jià)格(元)均為時(shí)間t(天)的函數(shù),且銷售量近似滿足g(t)=80﹣2t(件),價(jià)格近似滿足于 (元).
(1)試寫(xiě)出該種商品的日銷售額y與時(shí)間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值.
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【題目】如圖橢圓的上下頂點(diǎn)為A、B,直線: ,點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn),連結(jié)AP并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)N,連結(jié)BP并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M,設(shè)AP、BP所在直線的斜率分別為,若橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn),(1)求的值,并求最小值;(2)隨著點(diǎn)P的變化,以MN為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn),若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由。
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