已知函數(shù)f（x）=1+lnx．
（1） 求過原點(diǎn)且與曲線y=f（x）相切的直線方程；
（2） 若關(guān)于x的不等式f（x）≤ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：（1）∵f（x）=1+lnx，∴
，
設(shè)曲線y=f（x）上切點(diǎn)坐標(biāo)為（x
0，1+lnx
0），
則
，解得x
0=1，k=1，
∴切線方程為y=x．（5分）
（2）∵x＞0，
∴f（x）≤ax?a≥
，（6分）
設(shè)
，則
，（8分）
令
，得x=1，（9分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴g（x）
max=g（1）=1，
∴a≥1．（12分）
分析：（1） 先求其導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得切線的斜率，求出切線方程，利用切線過原點(diǎn)，就可以把具體的切線方程求出來；
（2）先把不等式f（x）≤ax恒成立轉(zhuǎn)化為a≥
，再利用導(dǎo)函數(shù)求出不等式右邊的最大值即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程以及研究函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的最值問題，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題．
