Question

如圖，動(dòng)圓,1<t<3,

與橢圓：相交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)。

   (Ⅰ)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積；

   (Ⅱ)求直線AA₁與直線A₂B交點(diǎn)M的軌跡方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）6      （2）

【解析】（1）設(shè)，則矩形ABCD的面積.

由得，從而

當(dāng)，時(shí)，.從而時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為6.

（2）證明：由 ，，，知

直線的方程為    ①

直線的方程為    ②

由①②得  ③

又點(diǎn)在橢圓C上，故  ④

將④代入③得

因此點(diǎn)M的軌跡方程為.

考點(diǎn)定位：本大題主要考查橢圓、圓、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與橢圓、圓的位置關(guān)系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)化方法等